有限数学示例

$e^{2 x}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = e^{2 y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $e^{2 y} = x$ 。

$e^{2 y} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 y})$ 。

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

解题步骤 2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y = \ln (x)$

解题步骤 2.4

将 $2 y = \ln (x)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 y = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ 是否为 $f (x) = e^{2 x}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{2 x})$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

解题步骤 4.2.3

通过将 $2 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 x})$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x \ln (e)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

解题步骤 4.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

解题步骤 4.2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{2})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 4.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ 为 $f (x) = e^{2 x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

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